【算法学习】1486. 数组异或操作(java / c / c++ / python / go / rust)

二当家的白帽子 2021-10-27 00:35:44
学习 算法 数组 操作 法学

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1486. 数组异或操作:

给你两个整数,n 和 start 。

数组 nums 定义为:nums[i] = start + 2 * i(下标从 0 开始)且 n == nums.length 。

请返回 nums 中所有元素按位异或(XOR)后得到的结果。

样例 1

输入:
n = 5, start = 0
输出:
8
解释:
数组 nums 为 [0, 2, 4, 6, 8],其中 (0 ^ 2 ^ 4 ^ 6 ^ 8) = 8 。
"^" 为按位异或 XOR 运算符。

样例 2

输入:
n = 4, start = 3
输出:
8
解释:
数组 nums 为 [3, 5, 7, 9],其中 (3 ^ 5 ^ 7 ^ 9) = 8.

样例 3

输入:
n = 1, start = 7
输出:
7

样例 4

输入:
n = 10, start = 5
输出:
2

提示

  • 1 <= n <= 1000
  • 0 <= start <= 1000
  • n == nums.length

分析

我们可以直接按照题意,暴力循环,那么时间复杂度就是O(n),是否有时间复杂度为O(1)的算法呢?

记x为变量,^是异或操作,则异或运算满足以下性质:

  1. x ^ x = 0;
  2. x ^ 0 = x;
  3. x ^ y = y ^ x(交换律);
  4. (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z)(结合律);
  5. x ^ y ^ y = x(自反性);
  6. 如果x是4的倍数,x ^ (x + 1) ^ (x + 2) ^ (x + 3) = 0;
  • 本题要计算的 结果公式 为:start ^ (start + 2) ^ (start + 4) ^ ⋯ ^(start + 2 * (n − 1))
  • 如果有一个函数 sumXor(x) 可以计算 0 ^ 1 ^ 2 ^ ⋯ ^ x
  • 对于某变量x和n,计算sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)的结果,根据上面的 性质1 可以将 0 ^ 1 ^ 2 ^ … ^ (s - 1) 的值抵消为0,就变成 0 ^ s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1) ,根据 性质2 可知与0做异或操作还是自己,最后结果就变成 s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1) ,这个结果很接近我们要计算的内容。
  • 如果我们令 s = start / 2 ,把 结果公式 转换成 (s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ ⋯ ^ (s + n - 1)) * 2,这样并不成立,因为在做除以2的操作时,最低位丢失了,但是我们可以单独处理最低位。
  • 观察 结果公式 可知 (start + 2),(start + 4) ,… ,(start + 2 * (n − 1)) 的奇偶性质相同,而且和start一致,也就是最低位要么都是0,要么都是1,只有基数个1做异或操作时才会是1。也就是只有start是奇数并且n是奇数的时候,最终结果的最低位 e 才会是1。
  • 这时 结果公式 可以转化为: ((sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)) * 2) | e

只要我们可以实现函数sumXor(x),那么题目计算就可以做到O(1)的时间复杂度,根据 性质6性质2 我们只需要考虑x除以4的余数,也就是最低2位,可以得到如下推导:

x % 4 = 0 的二进制位:xx…x00
x % 4 = 1 的二进制位:xx…x01
x % 4 = 2 的二进制位:xx…x10
x % 4 = 3 的二进制位:xx…x11

  • x % 4 = 0,sumXor(x) = x;
  • x % 4 = 1,sumXor(x) = (x - 1) ^ x,简化可得 sumXor(x) = 1;
  • x % 4 = 2,sumXor(x) = (x - 2) ^ (x - 1) ^ x,简化可得 sumXor(x) = x | 1;
  • x % 4 = 3,sumXor(x) = 0;
  • x % 4 等同于 x & 3 的操作,而且理论上 & 操作要比 % 操作更快;

题解

java

class Solution {

public int xorOperation(int n, int start) {

int s = start >> 1, e = n & start & 1;
int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
return ret << 1 | e;
}
public int sumXor(int x) {

switch (x & 3) {

case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}
}

c

int xorOperation(int n, int start) {

int s = start >> 1, e = n & start & 1;
int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
return ret << 1 | e;
}
int sumXor(int x) {

switch (x & 3) {

case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}

c++

class Solution {

public:
int xorOperation(int n, int start) {

int s = start >> 1, e = n & start & 1;
int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
return ret << 1 | e;
}
int sumXor(int x) {

switch (x & 3) {

case 0:
return x;
case 1:
return 1;
case 2:
return x | 1;
default:
// x & 3 == 3
return 0;
}
}
};

python

class Solution:
def xorOperation(self, n: int, start: int) -> int:
def sumXor(x):
if x % 4 == 0:
return x
if x % 4 == 1:
return 1
if x % 4 == 2:
return x | 1
return 0
s = start >> 1
e = n & start & 1
ans = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1)
return ans << 1 | e

go

func xorOperation(n, start int) (ans int) {

s, e := start>>1, n&start&1
ret := sumXor(s-1) ^ sumXor(s+n-1)
return ret<<1 | e
}
func sumXor(x int) int {

switch x & 3 {

case 0:
return x
case 1:
return 1
case 2:
return x | 1
default:
return 0
}
}

rust

impl Solution {
pub fn xor_operation(n: i32, start: i32) -> i32 {
let s = start >> 1;
let e = n & start & 1;
let ret = Solution::sum_xor(s - 1) ^ Solution::sum_xor(s + n - 1);
return ret << 1 | e
}
fn sum_xor(x: i32) -> i32 {
match x & 3 {
0 => x,
1 => 1,
2 => x | 1,
_ => 0
}
}
}

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